- No2 正多面体の種類 ユークリッドからの挑戦
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正多面体は、存在するとしても、5種類以下であることを証明せよ。ただし正多面体とは次の条件をすべて満たすものを言う。
- 有限個の面で囲まれた凸多面体である。
- 各面はすべて合同な正多角形である。
- 各頂点はすべて合同な正多角錐である。
- コメント
- 正多面体が、正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体の5種類しかないことは、古代ギリシャ時代にすでに証明され、ユークリッドの『原論』にも証明が記されているそうです。オイラーの公式を利用した証明が有名ですが、ここでは『原論』での証明を紹介しようと思います。この証明では、整数の不等式をうまく利用します。高校生は一般に不等式の処理が苦手なようですので、良い練習問題になると思います。皆さんは、古代ギリシャ人の知恵に勝てますか？
［注とヒント］
条件2による各面を正p角形、条件3による正多角錐を正q角錐とすると、この二つの整数が正多面体を特徴付けます。この二つの整数をうまく利用して証明します(No3の問題が参考になります)。ここで、条件3がわかりにくいかと思いまが、正多面体の各頂点に合同な平面がq面集まっていると考えると良いと思います。
なお、この問題は、正多面体が存在するとしてもそれは5種類以下だということを示すのみ（必要条件）で、そのような正多面体が実際に存在するということは別に証明が必要（十分条件）です。
「正多面体」を検索されて訪問される方が多いようです。まもなく証明を載せますのでもう少しお待ちください。何しろただいま受験期の真っ最中で連日高校受験、大学受験の特訓でなかなか時間を取れない状態です。あと言い訳になりますが、ブログで数式や図を描くのが思ったより大変なのも遅れてしまう原因です。とにかくまもなく各問題の正解を載せるつもりですので、もう少しお待ちください。
- キーワード
- 正多面体
- 整数問題、整数と不等式
- 参考文献
- 「正多面体を解く」一松 信
- No１ 東大 ’88
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空間内に平面$\alpha$がある。一辺の長さ１の正四面体$V$の$\alpha$上への正射影の面積を$S$とし、$V$がいろいろと位置を変えるときの$S$の最大値と最小値を求めよ。
ただし、空間の点$P$を通って$\alpha$に垂直な線が$\alpha$と交わる点を$P$の$\alpha$上への正射影といい、空間図形$V$の各点の$\alpha$上への正射影全体のつくる$\alpha$上の図形を$V$の$\alpha$上への正射影という。- コメント
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結論は予想できそうですが、きちんと論証するのはきわめて困難です。問題自体は誰にでもわかり面白そうなのに、いざ本気で取り組むとおくが深く、いろいろ考えさせられる問題です。さすが東大の出題だと思います。
解法も、- 図形的解法
- 座標を利用した式処理による解法
- 体積を利用したアイデア勝負の解法
- レベルと対象学年
- 難問ベスト5に入る超難問だと思います。 図形の対称性をどう捉えるか、あまりこだわりすぎると堂々巡りで目が回りそうです＼(^o^)／ 知識としては、空間ベクトル、法線ベクトル、等を知っていたほうが楽だと思います。
- キーワード
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- 対称性
- 空間図形、正四面体
- 正射影、平面の方程式、法線ベクトル
- とりあえず解のみ
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いろいろ考えていますが、すっきりとわかりやすい解法が思いつきません。解法は今のところ3通りぐらい思いついているのですが、あまり理解しやすいとはいえません。
いずれにせよ、試験の限られた時間内で解くのは至難の業だと思います。 皆さんいい解法を考えられた方は、ぜひお知らせください。 最大値は`1/2` 最小値は`(sqrt2)/4
詳しくは、後で (~_~;)
- はじめに (*^^)v
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第二ブログ完成
｢桜田進学塾 庄司」の第一別館｢塾 徒然草」に続き第二別館が完成しました。なぜ、こんな硬派のブログを作ったのか？
ゆとり教育がもたらしたもの
文科省はこれまで、難しい内容の単元を教科書からどんどん削除して来ました。まったくおかしなことだと思います。意欲と能力のある若者から学ぶ機会さえ奪ってしまう事になります。
こうした「ゆとり教育」は、何をもたらしたでしょうか？
理科や数学が好きという生徒が激減してしまいました。これは当然のことだと思います。
難しい内容であっても一生懸命考え、苦労して理解してこそ、「達成感や理解する喜び」を味わえるのだと思います。ゲームでもあまり簡単でやさしいゲームは面白くありません。難しい内容をどんどん削除したのでは、算数や数学は単なる計算練習に成り下がってしまいます。これでは、数学の得意な子も不得意な子も、算数・数学嫌いになって当然でしょう。理科系離れや学力の低下が言われて久しく、多くの大学では、一昔前の解析や線形代数の定本であった、｢解析概論」（高木貞治）や「解析入門1.2」（杉浦光夫）、「線型代数入門」（ 斎藤 正彦）等の本が、難しすぎて教科書としては使えないと言われているのが現状です。
単に理科離れが問題なのではなく、さらに深刻なのは、「ゆとり教育」が、若者の「勉学意欲の低下」をもたらした事だと思います。最近は、受験用の参考書も「マンガ」や「字の大きい」ものがもてはやされるようです。意欲ある若者よ、本当にそれで満足できますか？
鉄は熱いうちに…！
長年塾生を見ていると、このような現状はなんとももったいないことだと思います。若いうちに質の高い刺激を与えれば、学力のみならず、思考力や集中力など、能力そのものが向上するということをたくさん経験してきました。
そこで、楽しい硬派のブログ ^_^;
「艱難、汝を玉にす」の精神（ちょっと古すぎかな）で、骨のある難しめの問題に取り組もうと思います。多くの大学では、試験時間内に解くのは困難と思われるような問題も出題しています。
なぜでしょうか？ 私は、「難問の出題」は、大学からのメッセージであり受験生への挑戦状だと思っています。すなわち、難問は、大学が要求ないしは望む「学力・能力」を示すメッセージであり、有為の若者に対する挑戦だと思います。
このブログでは、そうした問題に私も挑戦し、皆さんと一緒に考え抜いていきたいと思っています。具体的内容は？
次のような問題を取り上げようと思います。解法は可能な限り「素直な解」と「アイデアの面白い解」など、複数示すよう努力するつもりです。また、出典や参考文献は、可能な限り明示しますが、塾生の質問など出典が不明なものもあるかと思います。出典がお判りの方や、またより良い別解を考えられた方は、ぜひコメントしてください。
- 入試問題
- 少し難しめの問題を取り上げようと思います。難問とは言っても、いたずらにテクニカルなものや奇問ではなく、数学の本質の理解に役立つ問題や、応用の広いアイデアを含むような問題を取り上げわかりやすく説明しようと思います。
- 塾生からの質問のあった問題
- 市販の参考書などを調べればわかるような質問ではなく、面白く役に立つような内容を含む問題を取り上げます。具体的には各高校での課題や添削問題の質問などに答えようと思います。
- 有名問題
- 昔から有名で受験生の定石とも言うべき問題を取り上げようと思います。
- 公式や理論の基礎講座
- わかりにくい公式や応用の広い数学理論であまり教科書等には載っていないけれども受験にも役に立ち面白いものを取り上げようと思います。
日々の授業や質問で、皆さんにも伝えたい面白い内容がたくさんあります。これから冬期講習も始まり、ますます忙しくなりますが、内容を充実させるよう努力するつもりです。 - ご案内
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- 「2で表示されたダイアログ内で、レヴェルのカスタマイズボタンをクリックしてスクリプトを有効にするを選択」
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- 「メニューからツール →オプションと進み」
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当ブログではMathMLを利用して数式を記述・表示できます。
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数式を表示するための具体的手順。- Explorerの場合
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- ASCIIMathMLを利用することで、各記事に対するコメントでも簡単なルールで数式を記述できます。数式を含んだ質問やコメントも大歓迎です。
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謝辞
- このブログのデザインはみりばーるさんの「Chameleon」を改造させていただきました。
- 記事開閉用のスクリプトは、FCafeさんのスクリプトを改造させていただきました。
- ExplorerとFireFoxの両ブラウザでMathMLを表示させるスマートなスクリプトASCIIMathMLの作者、 Peter Jipsen (Associate Professor of Mathematics Chapman University)に多謝。
- 数式エディタ「InftyEditor」を作成されているInfty Project に感謝いたします。
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- date: （2005-12-05）
- キーワード索引
- パズル10 上級（有名な本の誤答の訂正？）
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下図のような４せきの船を、一人の船頭が対岸に運ぶことを考える。
船を運ぶのに、２せきを連ねて対岸に向かい、対岸にあるどれか１せきでもどるものとする。また、４せきの船はそれぞれ、片道１,２,４,８分かかり、２せき連ねた場合遅いほうの時間がかかるものとする。４せきを運び終わるのに最低何分かかりますか。
出典「数学を決める論証力」大学への数学増刊 P９４
出典は、あの有名な「大学への数学」の増刊ですが、恐れずにチャレンジしてください。何も特別な知識は要りません。その意味では、小学生でも解けると思います。ただちょっとした工夫が必要です。
- 苦労したぞーー！！！
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13枚のコインパズルの拡張問題を出題したのは良かったのですが、想像以上に苦労しました。
だいぶ前から問題としては面白そうだし、それほど苦労しなくても解けるだろうと思っていて、気軽に出題してしまいました。
ところが、いざ真剣に考えてみると、そもそも問題の条件自体がいろいろあいまいな場合があり、それをある程度整理するのにすら苦労しました。パズル9（偽金探しの拡張問題、一般化）にも記しましたが、完全に整理しきれていません。偽コインが「含まれているかどうか、さらに含まれているとして何枚含まれるか？」等を一般的にとくのは、まだ、まったく手がついていません。
問題をある程度単純化して、整理したのがパズル9の解答です。証明の方針にも迷いました。何通りかありそうでしたが、高校生にもわかりやすそうな証明を試みました。
しかし、いざ公開しようとすると、想像以上に時間と手間隙がかかりました。（もう、解答を書くのに手間のかかるパズルは、出題しない事にしようかな？？(^^♪ … ？）
できるだけわかり易く書いたつもりですが、問題自体が難しいので、そもそもパズルを数学的に定式化するのが判りにくいかもしれません。
独りよがりの説明でわかりにくい点などがありましたらぜひ質問してください。わかりやすいように改訂していくつもりです。また、思い違いによる思わぬ誤りなどがございましたら是非ご教授ください。
- パズル9 上級 （超難問）
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13枚のコイン パズル決定版
13枚のコインの解答を求めて訪問された方が、かなりあるようです。お待たせしました。解答と拡張問題をアップします。
パズル９ 上級 超難問と言うより数学の問題
N枚のコインの中に一枚の偽コインが混じっている。天秤ばかりをR回使って偽物のコインを見つけるものとする。最大のNを求めよ。
- パズル8 中級
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コインをいっぱい詰めた袋が10袋あります。
どの袋にもコインは10枚以上入っていますが何枚ずつ入っているかはわかりません。
ひとつの袋は、全部偽物のコインが、ほかの袋には、、全部本物のコインが入っています。
本物のコインは1枚10グラムで、偽物のコインは、本物のコインに比べ1グラム軽い9グラムです。袋からコインは自由に取り出せるとして、重さを量れるバネはかりを1回だけ使って、偽コインの袋を見つけてください。
- パズル7 上級 (幼稚園の入試問題）
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上の図(左右は完全に対称です）のバスは、向かって右、左のどちらに進みますか？ 合理的理由をつけて答えてください。
数学 千夜一夜桜田進学塾(別館):