ふくろう 数学 千夜一夜

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No.70 京大 2005 (2次方程式の「解の配置」の応用問題)
$xy$平面上の原点と点$(1,~2)$を結ぶ線分(両端を含む)を$L$とし、曲線 $y=x^2+ax+b$を$C$とする.次の場合の実数の組$(a,~b)$の集合を$ab$平面上 に図示せよ
  1. $C と L$ がただ 1 点を共有する場合.ただし,線分$L$の両端の点を含まない場合.
  2. $C と L$ がただ 1 点を共有する場合.
  3. $C と L$ が共有点を持つ場合.
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みかけより,かなり難しい.京大のオリジナルの出題は、(3)のみ.(1),(2)と比較検討することで、微妙な問題を理解してほしい. 本問のような$(a,b)$の存在範囲を求める問題では、一般に「順像法」と「逆像法」による解法がある.順像法による考え方が、数学的には原則的で適用範囲の広い解法である.一方、逆像法が使える問題では、わかりやすく簡明なことが多い. 本問を、「逆像法」で解けば、「2次方程式の解の配置問題」に還元できる.
レベルと対象学年
簡単そうに見えて、意外とてこずる難問だと思います。2次関数をマスターしていれば1年生でも可能でしょう.
追加の(1)、(2)と合わせて、「2次方程式の解の配置問題」を完全にマスターしましょう.
キーワード
「2次方程式の解の配置問題」には、次の様な3つの方針がある.
  1. 解と係数の関係の利用
  2. 変数分離
  3. グラフの利用

上の 3 つの方針は並列ではない、解の配置条件が「対称性」を持つような単純な場合には「解と係数の利用」が最も簡明. 2 次方程式に現れるパラメータが 1 つの場合には「変数分離」がわかりやすいことが多い.「グラフの利用」はすべての基礎であると同時に、「解と係数の利用」や「変数分離」で対処できない場合には「グラフの利用」で解くことになるが、細かい落とし穴に注意する必要がある.

No.71 存在を示す論証 (東大 文系 2001 )
白石 180 個と黒石 181 個の合わせて 361 個の碁石が横に一列に並んでいる.碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ.

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数となる.ただし、碁石が一つも残らない場合も同数とみなす.

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まるでパズルのような問題.何をどう論証すればよいのかわからない受験生が多かったと思います.

一般的に、「存在に関する論証」は難しい.存在に関する論証の方針には、次の様なものが考えられます.

存在に関する論証

  1. 直接証明 :構成できることを示す.
  2. 帰納法  :存在を帰納的に示す.
  3. 間接照明 :鳩ノ巣原理(部屋割り論法)有限個のものにおける存在原理
  4. 間接照明 :中間値の定理.連続するものにおける存在原理
  5. 背理法  :矛盾を示す.

難しい問題ではこれらの方針を組み合わせて論証することになります.

本問は、いろいろな解法が考えられそうですが、単なる知識では、太刀打ちできそうにありません.

普段から柔軟な思考力を鍛えることが大切です.

No.69 空間図形の論証
  1. 下図のような、平行な 2 つの平面 P, Q にもう一つの平面 R が交わるとき平面 R による切り口の 2 直線 $l, m$は、平行となることを証明せよ.
    heimenn.jpg
  2. 異なる 3 直線 $l, m, n$ について$l \parallel m, \ m \parallel n ならば l \parallel n$であることを次の場合に分けて示せ.(難)
    (i) 3 直線 $l, m, n$ が同一平面上にあるとき.
    (ii) 3 直線が空間にあるとき、すなわち直線 $l$ が平行な 2 直線 $m, n$ のはる平面上にない場合.
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あまりにも当然すぎて、何をどう証明するかがわかりにくいと思います.
  1. では、厳密な論理の進め方を身に着けてほしいと思います.
  2. では、「背理法」のよい練習になります.
何をどう証明するかがわからないときには、「背理法」はとても有力です.この問題では、平行線の公理を直接利用します.数学の問題では基礎にさかのぼればのぼるほど難しくなるようです.
No.68 筑波大付属駒場高校 2015
次の問いに答えなさい.
  1. 図 1 のように、AB = 3 cm, AD = 2 cm, AE = 4 cm の直方体 ABCD-EFGH の辺 AE, BF, CG 上に、それぞれ点 P, Q, R があり、AP = 1 cm, BQ = 2 cm, CR = 3 cm です. 3 点 P、Q, R を通る平面と DH の交点を S とするとき、立体 ABCD-PQRS の体積を求めなさい.
  2. 図 2 のように、1 辺の長さが 4cm の正四面体 OACB の OA, OB, OC 上にそれぞれ点 P, Q, R があり、OP = 1 cm, OQ = 2 cm, OR = 3 cm です.四面体 OPQR の体積を求めなさい.
  3. 図 3 のように、すべての辺の長さが 4 cm の正 4 角すい O-ABCD の辺 OA, OB, OC 上にそれぞれ点 P, Q, R があり、OP = 1 cm, OQ = 2 cm, OR = 3 cm です. 3 点 P, Q, R を通る平面と OD の交点を S とするとき、立体 OPQRS の体積を求めなさい.
Ptukukoma2.jpg
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小問1はぜひ解きたい.小問2は、解法を知らなければ難問ですが、難関高校を目指す人には必修と言えます. 小問3は難問です.月刊誌「高校への数学」の解法はなかなか思いつかないでしょう.おすすめは、「立体を平面で切った時の切り口」を考える一般的解法です.高校生ならば、「空間のベクトル」を利用するところでしょう.もっとも高校生でもなかなか解けないようです.
[研究問題]
上図 3 において、平面 OAB と平面 ODC の交線$l$は、直線$AB$,直線$DC$に平行であることを証明せよ.
No.56 東大(理系) ’04
$xy$平面の放物線 $ y=x^{2} $上の3点 P,Q,R が次の条件を満たしている。

△PQR は1辺の長さ a の正三角形であり、点 P,Q を通る直線の傾きは$\sqrt{2}$ である。

このとき、aの値を求めよ。
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2次関数の問題で、誰でも手をつけやすそうですが意外に手間取ります。本番の試験では、時間を食いすぎて残りの問題に影響した人が多かったのではないでしょうか。直接的に解こうとするとかなり計算が大変です。いろんな解法が考えられそうで悩みすぎると時間を食いそうです。
レベルと対象学年
簡単そうに見えて、意外とてこずる難問だと思います。2次関数をマスターしていれば1年生でも可能でしょうが、かなり計算力が必要です。上手に工夫すればかなり楽になりますが、少し知識が必要となります。
キーワード
  1. 対称式
  2. 解と係数の関係
  3. 1次変換、回転を表す行列
  4. 複素数と回転(旧課程)
  5. ベクトルの利用
No.66 ミネルバのフクロウ
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ミネルヴァの梟

桜田進学塾のシンボルマークとして、「フクロウ」に次のような思いを込めました.

Minerva(ミネルバ)は、ローマ神話の知恵と芸術の守護神。ギリシャ神話のAthena(アテナ)に相当する。

梟(ふくろう)は、ミネルバに仕え世界中の知識を集めてくるといわれる。

「ミネルバの梟は、時代の黄昏とともに旅立つ。」これは、哲学者ヘーゲルの言葉。

混沌とした現代、「ミネルバの梟」の役割を少しでも果たせたらどんなに幸せかと思います。


No.58 慶応 総合政策 ’05
P氏はN頭のらくだを3人の息子で分けるように遺言してなくなった。その遺言によればNのx分の1、y分の1、z分の1(x>y>zとする)が息子たちの相続するらくだの数である。ただし、Nはx、y、zのいずれの倍数でもない。`1/x +1/y + 1/z = 1`でないので3人が悩んでいると(Nはx、y、zのいずれでも割り切れない)、通りがかりの旅人が良い工夫を思いついた。旅人のらくだを1頭加えN+1頭を遺言の率に従って分割すれば、うまく分割でき、1頭余る。したがって旅人は何の損得も受けないという案である。3人は喜んでこの提案をうけいれた。たとえば、N=11,(x,y,z)=(6,4,2)はこの場合である。さて、ほかにどのようなNの値がありうるか。12以上のNを小さい順に4つあげよ。
コメント

『塾 徒然草』にパズルとして出題しましたが、これも有名パズル。慶応はパズルが好きですね!

それにしても、分けるのがラクダではなく牛(肉)だったらラクダったのに(ーー;)

レベルと対象学年
高1以上 難

初めて解く人にはかなりの難問でしょう。「No3 有名整数問題」(必修)をマスターしていれば比較的簡単。ただ間違いやすい落とし穴が巧妙に仕掛けられています。

典型的な整数の問題で、知識としては特別なものは必要ありません。合理的な思考力が要求されますが、高1でも可能でしょう。

キーワード
  1. 整数問題
  2. 必要条件による絞込み
No.64 対数と無理数
$\log_{10}2$は無理数であることを示せ.
コメント
$\sqrt{2}$が無理数であることの証明は有名ですが、本問はどうでしょう? 意外と手こずる人が多いのではないでしょうか?
レベルと対象学年
高校2年の標準的問題. この問題でマスターして欲しいことは、何を証明すべきかわからないときの対処方法です.
  1. 背理法
  2. 定義にもどって考えること

    一般に定義まで戻って考えなければならない問題は難しい.

    $~\displaystyle 10^{\log_{10}a}$ がどういう数かすぐわからない人は、対数の定義をもう一度確認しましょう.
  3. 整数問題の処理

キーワード
  1. 背理法
  2. 定義にもどる
  3. 素数と倍数
No.60 東大理系 ’05
$|z|\geq\frac{5}{4}$ となるどのような複素数 $ z $ に対しても $ w=z^{2}-2z$ とは表せない複素数 $ w $ 全体の集合を $ T$ とする。すなわち、 \(T=\{w ~| w=z^{2}-2z\) ならば \(|z| \leq \frac{5}{4} \}\) とする。このとき、$T $ に属する複素数 $ w $ で絶対値 $| w |$ が最大になるような $ w $ の値を求めよ。
コメント

題意のつかみにくい難問でしょう。「大学への数学」や「鉄緑会」の解説では、Dランクで最難問に分類されています。しかし、題意をつかみあることに気がつけばそれほどでもありません。

`w` を `z` の関数ととらえ $ |z| \leq\frac{5}{4}$ のときの `|w|` の最大値を考えようとするのでは、題意をとらえたことになりません 

レベルと対象学年
難 高2以上

複素係数の2次方程式をどう処理するか、高校の数学ではなかなか処理が難しく、またどこまでの知識を前提とするかもあいまいです。

複素係数の2次方程式に関する細かい議論をうまく回避できればいいのですが? ヒントの出しすぎでしょうかね??(^・^)

キーワード
  1. 対称性
  2. 解と係数の関係
  3. 複素数と複素平面
  4. 共役の複素数(参考)
No.55 「数学の玉手箱」改め「数学 千夜一夜」

「数学の玉手箱」が良かったのにー (ーー;)

「数学の玉手箱」というブログ名が気に入ってしばらく使っていましたが、「数学玉手箱」という人気サイトがすでにあることに気がつきました。残念ですがあきらめます。

そこで、名前を何にしようか本当に悩んでしまいます。良いなと思う名前はすでに使われていることが多いようです。当面 「数学 千夜一夜」とするつもりです。もっと良い名前が思いつけばまた変更するかもしれませんが、今後とも、よろしくお願いいたします。



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