ふくろう 数学 千夜一夜: 京大 2005 (2次方程式の「解の配置」の応用問題)

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No.70 京大 2005 (2次方程式の「解の配置」の応用問題)
$xy$平面上の原点と点$(1,~2)$を結ぶ線分(両端を含む)を$L$とし、曲線 $y=x^2+ax+b$を$C$とする.次の場合の実数の組$(a,~b)$の集合を$ab$平面上 に図示せよ
  1. $C と L$ がただ 1 点を共有する場合.ただし,線分$L$の両端の点を含まない場合.
  2. $C と L$ がただ 1 点を共有する場合.
  3. $C と L$ が共有点を持つ場合.
コメント
みかけより,かなり難しい.京大のオリジナルの出題は、(3)のみ.(1),(2)と比較検討することで、微妙な問題を理解してほしい. 本問のような$(a,b)$の存在範囲を求める問題では、一般に「順像法」と「逆像法」による解法がある.順像法による考え方が、数学的には原則的で適用範囲の広い解法である.一方、逆像法が使える問題では、わかりやすく簡明なことが多い. 本問を、「逆像法」で解けば、「2次方程式の解の配置問題」に還元できる.
レベルと対象学年
簡単そうに見えて、意外とてこずる難問だと思います。2次関数をマスターしていれば1年生でも可能でしょう.
追加の(1)、(2)と合わせて、「2次方程式の解の配置問題」を完全にマスターしましょう.
キーワード
「2次方程式の解の配置問題」には、次の様な3つの方針がある.
  1. 解と係数の関係の利用
  2. 変数分離
  3. グラフの利用

上の 3 つの方針は並列ではない、解の配置条件が「対称性」を持つような単純な場合には「解と係数の利用」が最も簡明. 2 次方程式に現れるパラメータが 1 つの場合には「変数分離」がわかりやすいことが多い.「グラフの利用」はすべての基礎であると同時に、「解と係数の利用」や「変数分離」で対処できない場合には「グラフの利用」で解くことになるが、細かい落とし穴に注意する必要がある.

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