ふくろう 数学 千夜一夜: 筑波大付属駒場高校 2015

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No.68 筑波大付属駒場高校 2015
次の問いに答えなさい.
  1. 図 1 のように、AB = 3 cm, AD = 2 cm, AE = 4 cm の直方体 ABCD-EFGH の辺 AE, BF, CG 上に、それぞれ点 P, Q, R があり、AP = 1 cm, BQ = 2 cm, CR = 3 cm です. 3 点 P、Q, R を通る平面と DH の交点を S とするとき、立体 ABCD-PQRS の体積を求めなさい.
  2. 図 2 のように、1 辺の長さが 4cm の正四面体 OACB の OA, OB, OC 上にそれぞれ点 P, Q, R があり、OP = 1 cm, OQ = 2 cm, OR = 3 cm です.四面体 OPQR の体積を求めなさい.
  3. 図 3 のように、すべての辺の長さが 4 cm の正 4 角すい O-ABCD の辺 OA, OB, OC 上にそれぞれ点 P, Q, R があり、OP = 1 cm, OQ = 2 cm, OR = 3 cm です. 3 点 P, Q, R を通る平面と OD の交点を S とするとき、立体 OPQRS の体積を求めなさい.
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コメント
小問1はぜひ解きたい.小問2は、解法を知らなければ難問ですが、難関高校を目指す人には必修と言えます. 小問3は難問です.月刊誌「高校への数学」の解法はなかなか思いつかないでしょう.おすすめは、「立体を平面で切った時の切り口」を考える一般的解法です.高校生ならば、「空間のベクトル」を利用するところでしょう.もっとも高校生でもなかなか解けないようです.
[研究問題]
上図 3 において、平面 OAB と平面 ODC の交線$l$は、直線$AB$,直線$DC$に平行であることを証明せよ.

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