ふくろう 数学 千夜一夜: 東大理系 ’05

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No.60 東大理系 ’05
$|z|\geq\frac{5}{4}$ となるどのような複素数 $ z $ に対しても $ w=z^{2}-2z$ とは表せない複素数 $ w $ 全体の集合を $ T$ とする。すなわち、 \(T=\{w ~| w=z^{2}-2z\) ならば \(|z| \leq \frac{5}{4} \}\) とする。このとき、$T $ に属する複素数 $ w $ で絶対値 $| w |$ が最大になるような $ w $ の値を求めよ。
コメント

題意のつかみにくい難問でしょう。「大学への数学」や「鉄緑会」の解説では、Dランクで最難問に分類されています。しかし、題意をつかみあることに気がつけばそれほどでもありません。

`w` を `z` の関数ととらえ $ |z| \leq\frac{5}{4}$ のときの `|w|` の最大値を考えようとするのでは、題意をとらえたことになりません 

レベルと対象学年
難 高2以上

複素係数の2次方程式をどう処理するか、高校の数学ではなかなか処理が難しく、またどこまでの知識を前提とするかもあいまいです。

複素係数の2次方程式に関する細かい議論をうまく回避できればいいのですが? ヒントの出しすぎでしょうかね??(^・^)

キーワード
  1. 対称性
  2. 解と係数の関係
  3. 複素数と複素平面
  4. 共役の複素数(参考)
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