ふくろう 数学 千夜一夜: 東大 理系 ’05

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No.59 東大 理系 ’05
r を正の実数とする。xyz 空間において、

$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$
$y^{2}+z^{2}\geq r^{2}$
$z^{2}+x^{2}\leq r^{2}$

を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
コメント

東大は空間図形の求積問題を毎年のように出題しています。数学的な技術とセンスが要求される問題を作りやすいからでしょう。

本問は、立体の形をイメージすることが困難です。直接立体をイメージせずに、工夫して解く必要があります。

空間図形を扱う定石とも言うべき考え方です。本問でしっかり見につけましょう。

レベルと対象学年
高3 難問

図形的なイメージがつかめないので手がつけられない人もあるかと思います。このような問題の処理にはある程度、定石的な方法があります。しっかり身に着けましょう。

置換積分など、積分計算もかなり大変でしょう。

キーワード
  1. 空間図形
  2. 積分(数Ⅲ)
  3. 対称性
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