ふくろう 数学 千夜一夜: 東大(理系) ’04

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No.56 東大(理系) ’04
$xy$平面の放物線 $ y=x^{2} $上の3点 P,Q,R が次の条件を満たしている。

△PQR は1辺の長さ a の正三角形であり、点 P,Q を通る直線の傾きは$\sqrt{2}$ である。

このとき、aの値を求めよ。
コメント
2次関数の問題で、誰でも手をつけやすそうですが意外に手間取ります。本番の試験では、時間を食いすぎて残りの問題に影響した人が多かったのではないでしょうか。直接的に解こうとするとかなり計算が大変です。いろんな解法が考えられそうで悩みすぎると時間を食いそうです。
レベルと対象学年
簡単そうに見えて、意外とてこずる難問だと思います。2次関数をマスターしていれば1年生でも可能でしょうが、かなり計算力が必要です。上手に工夫すればかなり楽になりますが、少し知識が必要となります。
キーワード
  1. 対称式
  2. 解と係数の関係
  3. 1次変換、回転を表す行列
  4. 複素数と回転(旧課程)
  5. ベクトルの利用
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