ふくろう 数学 千夜一夜: 正多面体の種類 ユークリッドからの挑戦

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No.53 正多面体の種類 ユークリッドからの挑戦
正多面体は、存在するとしても、5種類以下であることを証明せよ。ただし正多面体とは次の条件をすべて満たすものを言う。
  1. 有限個の面で囲まれた凸多面体である。
  2. 各面はすべて合同な正多角形である。
  3. 各頂点はすべて合同な正多角錐である。
コメント
正多面体が、正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体の5種類しかないことは、古代ギリシャ時代にすでに証明され、ユークリッドの『原論』にも証明が記されているそうです。オイラーの公式を利用した証明が有名ですが、ここでは『原論』での証明を紹介しようと思います。この証明では、整数の不等式をうまく利用します。高校生は一般に不等式の処理が苦手なようですので、良い練習問題になると思います。皆さんは、古代ギリシャ人の知恵に勝てますか?

[注とヒント]

条件2による各面を正p角形、条件3による正多角錐を正q角錐とすると、この二つの整数が正多面体を特徴付けます。この二つの整数をうまく利用して証明します(No3の問題が参考になります)。ここで、条件3がわかりにくいかと思いまが、正多面体の各頂点に合同な平面がq面集まっていると考えると良いと思います。
なお、この問題は、正多面体が存在するとしてもそれは5種類以下だということを示すのみ(必要条件)で、そのような正多面体が実際に存在するということは別に証明が必要(十分条件)です。
「正多面体」を検索されて訪問される方が多いようです。まもなく証明を載せますのでもう少しお待ちください。何しろただいま受験期の真っ最中で連日高校受験、大学受験の特訓でなかなか時間を取れない状態です。あと言い訳になりますが、ブログで数式や図を描くのが思ったより大変なのも遅れてしまう原因です。とにかくまもなく各問題の正解を載せるつもりですので、もう少しお待ちください。
キーワード
  1. 正多面体
  2. 整数問題、整数と不等式
参考文献
「正多面体を解く」一松 信
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