ふくろう 数学 千夜一夜: 東大 ’88

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No.52 東大 ’88
空間内に平面$\alpha$がある。一辺の長さ1の正四面体$V$の$\alpha$上への正射影の面積を$S$とし、$V$がいろいろと位置を変えるときの$S$の最大値と最小値を求めよ。
ただし、空間の点$P$を通って$\alpha$に垂直な線が$\alpha$と交わる点を$P$の$\alpha$上への正射影といい、空間図形$V$の各点の$\alpha$上への正射影全体のつくる$\alpha$上の図形を$V$の$\alpha$上への正射影という。
コメント
結論は予想できそうですが、きちんと論証するのはきわめて困難です。問題自体は誰にでもわかり面白そうなのに、いざ本気で取り組むとおくが深く、いろいろ考えさせられる問題です。さすが東大の出題だと思います。
解法も、
  1. 図形的解法
  2. 座標を利用した式処理による解法
  3. 体積を利用したアイデア勝負の解法
などが考えられそうですが、いずれにしても大変です。皆さんじっくり取り組んでみてください。
レベルと対象学年
難問ベスト5に入る超難問だと思います。 図形の対称性をどう捉えるか、あまりこだわりすぎると堂々巡りで目が回りそうです\(^o^)/ 知識としては、空間ベクトル、法線ベクトル、等を知っていたほうが楽だと思います。
キーワード
  1. 対称性
  2. 空間図形、正四面体
  3. 正射影、平面の方程式、法線ベクトル
とりあえず解のみ
いろいろ考えていますが、すっきりとわかりやすい解法が思いつきません。解法は今のところ3通りぐらい思いついているのですが、あまり理解しやすいとはいえません。
いずれにせよ、試験の限られた時間内で解くのは至難の業だと思います。 皆さんいい解法を考えられた方は、ぜひお知らせください。 最大値は$\frac{1}{2}$ 最小値は$\frac {\sqrt {2}}{4} $
詳しくは、後で (~_~;)
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