ふくろう 数学 千夜一夜: 上級

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No.70 京大 2005 (2次方程式の「解の配置」の応用問題)
$xy$平面上の原点と点$(1,~2)$を結ぶ線分(両端を含む)を$L$とし、曲線 $y=x^2+ax+b$を$C$とする.次の場合の実数の組$(a,~b)$の集合を$ab$平面上 に図示せよ
  1. $C と L$ がただ 1 点を共有する場合.ただし,線分$L$の両端の点を含まない場合.
  2. $C と L$ がただ 1 点を共有する場合.
  3. $C と L$ が共有点を持つ場合.
コメント
みかけより,かなり難しい.京大のオリジナルの出題は、(3)のみ.(1),(2)と比較検討することで、微妙な問題を理解してほしい. 本問のような$(a,b)$の存在範囲を求める問題では、一般に「順像法」と「逆像法」による解法がある.順像法による考え方が、数学的には原則的で適用範囲の広い解法である.一方、逆像法が使える問題では、わかりやすく簡明なことが多い. 本問を、「逆像法」で解けば、「2次方程式の解の配置問題」に還元できる.
レベルと対象学年
簡単そうに見えて、意外とてこずる難問だと思います。2次関数をマスターしていれば1年生でも可能でしょう.
追加の(1)、(2)と合わせて、「2次方程式の解の配置問題」を完全にマスターしましょう.
キーワード
「2次方程式の解の配置問題」には、次の様な3つの方針がある.
  1. 解と係数の関係の利用
  2. 変数分離
  3. グラフの利用

上の 3 つの方針は並列ではない、解の配置条件が「対称性」を持つような単純な場合には「解と係数の利用」が最も簡明. 2 次方程式に現れるパラメータが 1 つの場合には「変数分離」がわかりやすいことが多い.「グラフの利用」はすべての基礎であると同時に、「解と係数の利用」や「変数分離」で対処できない場合には「グラフの利用」で解くことになるが、細かい落とし穴に注意する必要がある.

No.71 存在を示す論証 (東大 文系 2001 )
白石 180 個と黒石 181 個の合わせて 361 個の碁石が横に一列に並んでいる.碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ.

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数となる.ただし、碁石が一つも残らない場合も同数とみなす.

コメント

まるでパズルのような問題.何をどう論証すればよいのかわからない受験生が多かったと思います.

一般的に、「存在に関する論証」は難しい.存在に関する論証の方針には、次の様なものが考えられます.

存在に関する論証

  1. 直接証明 :構成できることを示す.
  2. 帰納法  :存在を帰納的に示す.
  3. 間接照明 :鳩ノ巣原理(部屋割り論法)有限個のものにおける存在原理
  4. 間接照明 :中間値の定理.連続するものにおける存在原理
  5. 背理法  :矛盾を示す.

難しい問題ではこれらの方針を組み合わせて論証することになります.

本問は、いろいろな解法が考えられそうですが、単なる知識では、太刀打ちできそうにありません.

普段から柔軟な思考力を鍛えることが大切です.

No.58 慶応 総合政策 ’05
P氏はN頭のらくだを3人の息子で分けるように遺言してなくなった。その遺言によればNのx分の1、y分の1、z分の1(x>y>zとする)が息子たちの相続するらくだの数である。ただし、Nはx、y、zのいずれの倍数でもない。`1/x +1/y + 1/z = 1`でないので3人が悩んでいると(Nはx、y、zのいずれでも割り切れない)、通りがかりの旅人が良い工夫を思いついた。旅人のらくだを1頭加えN+1頭を遺言の率に従って分割すれば、うまく分割でき、1頭余る。したがって旅人は何の損得も受けないという案である。3人は喜んでこの提案をうけいれた。たとえば、N=11,(x,y,z)=(6,4,2)はこの場合である。さて、ほかにどのようなNの値がありうるか。12以上のNを小さい順に4つあげよ。
コメント

『塾 徒然草』にパズルとして出題しましたが、これも有名パズル。慶応はパズルが好きですね!

それにしても、分けるのがラクダではなく牛(肉)だったらラクダったのに(ーー;)

レベルと対象学年
高1以上 難

初めて解く人にはかなりの難問でしょう。「No3 有名整数問題」(必修)をマスターしていれば比較的簡単。ただ間違いやすい落とし穴が巧妙に仕掛けられています。

典型的な整数の問題で、知識としては特別なものは必要ありません。合理的な思考力が要求されますが、高1でも可能でしょう。

キーワード
  1. 整数問題
  2. 必要条件による絞込み
No.59 東大 理系 ’05
r を正の実数とする。xyz 空間において、

$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$
$y^{2}+z^{2}\geq r^{2}$
$z^{2}+x^{2}\leq r^{2}$

を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
コメント

東大は空間図形の求積問題を毎年のように出題しています。数学的な技術とセンスが要求される問題を作りやすいからでしょう。

本問は、立体の形をイメージすることが困難です。直接立体をイメージせずに、工夫して解く必要があります。

空間図形を扱う定石とも言うべき考え方です。本問でしっかり見につけましょう。

レベルと対象学年
高3 難問

図形的なイメージがつかめないので手がつけられない人もあるかと思います。このような問題の処理にはある程度、定石的な方法があります。しっかり身に着けましょう。

置換積分など、積分計算もかなり大変でしょう。

キーワード
  1. 空間図形
  2. 積分(数Ⅲ)
  3. 対称性


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