ふくろう 数学 千夜一夜: 中学数学

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No.69 空間図形の論証
  1. 下図のような、平行な 2 つの平面 P, Q にもう一つの平面 R が交わるとき平面 R による切り口の 2 直線 $l, m$は、平行となることを証明せよ.
    heimenn.jpg
  2. 異なる 3 直線 $l, m, n$ について$l \parallel m, \ m \parallel n ならば l \parallel n$であることを次の場合に分けて示せ.(難)
    (i) 3 直線 $l, m, n$ が同一平面上にあるとき.
    (ii) 3 直線が空間にあるとき、すなわち直線 $l$ が平行な 2 直線 $m, n$ のはる平面上にない場合.
コメント
あまりにも当然すぎて、何をどう証明するかがわかりにくいと思います.
  1. では、厳密な論理の進め方を身に着けてほしいと思います.
  2. では、「背理法」のよい練習になります.
何をどう証明するかがわからないときには、「背理法」はとても有力です.この問題では、平行線の公理を直接利用します.数学の問題では基礎にさかのぼればのぼるほど難しくなるようです.
No.68 筑波大付属駒場高校 2015
次の問いに答えなさい.
  1. 図 1 のように、AB = 3 cm, AD = 2 cm, AE = 4 cm の直方体 ABCD-EFGH の辺 AE, BF, CG 上に、それぞれ点 P, Q, R があり、AP = 1 cm, BQ = 2 cm, CR = 3 cm です. 3 点 P、Q, R を通る平面と DH の交点を S とするとき、立体 ABCD-PQRS の体積を求めなさい.
  2. 図 2 のように、1 辺の長さが 4cm の正四面体 OACB の OA, OB, OC 上にそれぞれ点 P, Q, R があり、OP = 1 cm, OQ = 2 cm, OR = 3 cm です.四面体 OPQR の体積を求めなさい.
  3. 図 3 のように、すべての辺の長さが 4 cm の正 4 角すい O-ABCD の辺 OA, OB, OC 上にそれぞれ点 P, Q, R があり、OP = 1 cm, OQ = 2 cm, OR = 3 cm です. 3 点 P, Q, R を通る平面と OD の交点を S とするとき、立体 OPQRS の体積を求めなさい.
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コメント
小問1はぜひ解きたい.小問2は、解法を知らなければ難問ですが、難関高校を目指す人には必修と言えます. 小問3は難問です.月刊誌「高校への数学」の解法はなかなか思いつかないでしょう.おすすめは、「立体を平面で切った時の切り口」を考える一般的解法です.高校生ならば、「空間のベクトル」を利用するところでしょう.もっとも高校生でもなかなか解けないようです.
[研究問題]
上図 3 において、平面 OAB と平面 ODC の交線$l$は、直線$AB$,直線$DC$に平行であることを証明せよ.


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