数学 千夜一夜桜田進学塾(別館):
- 久々の更新、おどろいた
- 忙しさにかまけて、ホームページ、ブログともにまったく更新できずにいました。訪問くださった方には、本当に申し訳ありませんでした。 それにしても、まったく更新していないでいたら、いつの間にか私のブログに勝手に広告が載せられていました。FC2さんあんまりですよ!! 利用者が増えたら勝手にこんなことをするなんて！！
- 「空間・時間・物質」 ヘルマン・ワイル
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1973年に講談社より刊行され、その後長らく絶版となっていた名著が、2007年3月ちくま学芸文庫として復刊されました。
歴史的名著を廉価な文庫本として復刊された。筑摩書房の見識はすばらしいと思います。
まだまだ日本も捨てたものでないと思います。
この名著は、アインシュタインの一般相対性理論の論文発表からわずか2年後に発表され、数学的により整備されています。
その一方で、発表当時から難解な事でも有名で、翻訳者自身次のように述べています。
『ともかく本書は、日本はもちろん、外国にも類を見ない名著であることは確かであり、これを読破するだけでも誇りとしてよいほどの難解の書でもある。』
確かに、哲学的記述も多く、究めて難解ですが、論理的に整備されている部分は明快です。
とにかくこのような名著は、可能な限り若いうちにチャレンジし、たとえ十分に理解できないとしても、その学問的香りを実感するだけでも、価値があると思います。 - Ｎｏ９ 東大理系 ’０５
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$|z|\geq\frac{5}{4}$ となるどのような複素数 $ z $ に対しても $ w=z^{2}-2z$ とは表せない複素数 $ w $ 全体の集合を $ T$ とする。すなわち、 $T=\{w \|\ w=z^{2}-2z$ ならば $ |z|\leq\frac{5}{4} \ }$ とする。このとき、$T $ に属する複素数 $ w $ で絶対値 $| w |$ が最大になるような $ w $ の値を求めよ。
- コメント
題意のつかみにくい難問でしょう。「大学への数学」や「鉄緑会」の解説では、Ｄランクで最難問に分類されています。しかし、題意をつかみあることに気がつけばそれほどでもありません。
`w` を `z` の関数ととらえ $ |z| \leq\ frac{5}{4}$ のときの `|w|` の最大値を考えようとするのでは、題意をとらえたことになりません
- レベルと対象学年
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難 高２以上
複素係数の２次方程式をどう処理するか、高校の数学ではなかなか処理が難しく、またどこまでの知識を前提とするかもあいまいです。
複素係数の２次方程式に関する細かい議論をうまく回避できればいいのですが？ ヒントの出しすぎでしょうかね？？(^・^)
- キーワード
- 対称性
- 解と係数の関係
- 複素数と複素平面
- 共役の複素数（参考）
- No８ 東大 理系 ’０５
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`r` を正の実数とする。`xyz` 空間において、
$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}$
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
$y^{2}+z^{2}\geq r^{2}$
$z^{2}+x^{2}\leq r^{2}$- コメント
東大は空間図形の求積問題を毎年のように出題しています。数学的な技術とセンスが要求される問題を作りやすいからでしょう。
本問は、立体の形をイメージすることが困難です。直接立体をイメージせずに、工夫して解く必要があります。
空間図形を扱う定石とも言うべき考え方です。本問でしっかり見につけましょう。
- レベルと対象学年
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高３ 難問
図形的なイメージがつかめないので手がつけられない人もあるかと思います。このような問題の処理にはある程度、定石的な方法があります。しっかり身に着けましょう。
置換積分など、積分計算もかなり大変でしょう。
- キーワード
- 空間図形
- 積分（数�掘�
- 対称性
- No7 慶応 総合政策 ’０５
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P氏はN頭のらくだを3人の息子で分けるように遺言してなくなった。その遺言によればNのｘ分の１、ｙ分の1、ｚ分の1（ｘ＞ｙ＞ｚとする）が息子たちの相続するらくだの数である。ただし、Ｎはｘ、ｙ、ｚのいずれの倍数でもない。`１/x +1/y + 1/z = 1`でないので3人が悩んでいると（Ｎはｘ、ｙ、ｚのいずれでも割り切れない）、通りがかりの旅人が良い工夫を思いついた。旅人のらくだを１頭加えＮ＋１頭を遺言の率に従って分割すれば、うまく分割でき、１頭余る。したがって旅人は何の損得も受けないという案である。３人は喜んでこの提案をうけいれた。たとえば、Ｎ＝１１，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（６，４，２）はこの場合である。さて、ほかにどのようなＮの値がありうるか。１２以上のＮを小さい順に4つあげよ。
- コメント
『塾 徒然草』にパズルとして出題しましたが、これも有名パズル。慶応はパズルが好きですね！
それにしても、分けるのがラクダではなく牛（肉）だったらラクダったのに(ーー;)
- レベルと対象学年
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高１以上 難
初めて解く人にはかなりの難問でしょう。「Ｎｏ３ 有名整数問題」（必修）をマスターしていれば比較的簡単。ただ間違いやすい落とし穴が巧妙に仕掛けられています。
典型的な整数の問題で、知識としては特別なものは必要ありません。合理的な思考力が要求されますが、高１でも可能でしょう。
- キーワード
- 整数問題
- 必要条件による絞込み
- No6 東大（理系） ’０４
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$xy$平面の放物線 $ Y=x^{2} $上の3点 Ｐ，Ｑ，Ｒ が次の条件を満たしている。
△PQR は１辺の長さ a の正三角形であり、点 Ｐ，Ｑ を通る直線の傾きは$\sqrt{2}$ である。
このとき、aの値を求めよ。- コメント
- ２次関数の問題で、誰でも手をつけやすそうですが意外に手間取ります。本番の試験では、時間を食いすぎて残りの問題に影響した人が多かったのではないでしょうか。直接的に解こうとするとかなり計算が大変です。いろんな解法が考えられそうで悩みすぎると時間を食いそうです。
- レベルと対象学年
- 簡単そうに見えて、意外とてこずる難問だと思います。２次関数をマスターしていれば１年生でも可能でしょうが、かなり計算力が必要です。上手に工夫すればかなり楽になりますが、少し知識が必要となります。
- キーワード
- 対称式
- 解と係数の関係
- １次変換、回転を表す行列
- 複素数と回転（旧課程）
- ベクトルの利用
- 「数学の玉手箱」改め「数学 千夜一夜」
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「数学の玉手箱」が良かったのにー (ーー;)
「数学の玉手箱」というブログ名が気に入ってしばらく使っていましたが、「数学玉手箱」という人気サイトがすでにあることに気がつきました。残念ですがあきらめます。
そこで、名前を何にしようか本当に悩んでしまいます。良いなと思う名前はすでに使われていることが多いようです。当面 「数学 千夜一夜」とするつもりです。もっと良い名前が思いつけばまた変更するかもしれませんが、今後とも、よろしくお願いいたします。
- No5 慶応 総合政策 '04
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天使はつねに真実を述べ、悪魔はつねに嘘をつく。
Ａ，Ｂは悪魔か天使であることはわかっているが、どちらかはっきりしない。Ａがこういった。 「私が天使ならば、Ｂも天使です。｣
この二人の正体はそれぞれ悪魔か天使か？- コメント
- この問題は、パズルとして有名です。問題文も短く、誰にでも内容がわかりやすいのに、かなり難しい名作パズルだと思います。2004年度の慶応大学は、ほかにもパズルを出題しています。
- レベルと対象学年
- 誰でも解けそうな気がしますが、実は、結構難しいと思います。正確に解くには、少し常識に反する「論理に関する知識」が必要です。高校2年程度か？
- キーワード
- 集合と論理 必要十分条件と集合
- 真理集合
- No4 慶応 総合政策 ’04
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3人の女神が口論している。最も美しい女神はただ一人であるとする。
アテナ「最も美しいのはアフロディテではない。」
アフロディテ「最も美しいのは、ヘラではない。」
ヘラ「私が最も美しい。」
最も美しい女神だけが真実を述べている。それは、誰でしょうか？- コメント
- これもおそらくは、有名なパズル。パズルは思考力を問うには良い材料ですが、少し安易過ぎるような気がします。
- レベルと対象学年
- 慶応の同年のもう一つの問題に比べかなりやさしいと思います。特別な知識は要りません。高1以下でも解答可能でしょう。
- キーワード
- 論理、慶応
- No3 整数問題（有名問題）
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`1/x +1/y + 1/z=1`を満たすような、自然数 x,y,zの組をすべて求めよ。
- コメント
- 有名問題ですが、出典は不明です。一般に不等式は高校生には難しいようです。等式は式変形に必然性があるのに対し不等式は、『式の評価』が大切です。ある意味センスが要求されます。
- レベルと対象学年
- 特別な知識は不要です。その意味では高1でも解答可能。
ただし、数学的な発想を必要とするので初めてこの種の問題を解く人には極めて難しいかも知れません。初めての人は、よく理解して身に着けましょう。 - キーワード
- 整数と不等式
- 対称式、対称性
- 必要条件による絞込み
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